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Continuidad
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Intuitivamente, la continuidad significa que un pequeño cambio en la variable x implica sólo un pequeño cambio en el valor de f(x), es decir, la gráfica consiste de un sólo trozo de curva.

 

En contraste, una gráfica como la de la función f(x) = sgn x (signo de x) que consiste de pedazos de curva separados por un vacío en una abcisa exhibe allí una discontinuidad.

La continuidad de la función f(x) para un valor a significa que f(x) difiere arbitrariamente poco del valor f(a) cuando x está suficientemente cerca de a.

Expresemos esto en términos del concepto de límite...

 

Definición

Continuidad

Una función f(x) es continua en un punto a si limx->af(x) = f(a).

Nota: observar que debe existir f(a) y debe existir el limx->a f(x) y debe ser igual a f(a).

 

Ejemplos de discontinuidad

 

f(x)= 1/x2

Discontinua en x=0 (No existe f(0))

   

f(x) = x2 si x <= 2
        2x - 4 si x > 2

Discontinua en x=2.

Si bien existe f(2), no existe limx->2f(x), pues limx->2-f(x)=4 y limx->2+f(x)=0

 

Sin embargo, si miramos la función para x próximos a 2 pero menores, e ignoramos los x mayores que 2, la función es continua en 2 "por la izquierda".

 

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Definición

Continuidad por la izquierda

Una función f(x) es continua por la izquierda en el punto a si existe f(a) y limx->a-f(x) = f(a).

Definición

Continuidad por la derecha

Una función f(x) es continua por la derecha en el punto a si existe f(a) y limx->a+f(x) = f(a).

La función anterior es continua por la izquierda en x=2, pero no por la derecha.

Definición

Continuidad en un intervalo cerrado [a,b]

Una función f(x) es continua en un intervalo cerrado [a,b] si:
f es continua en a por la derecha
f es continua en b por la izquierda
f es continua en x, para todo x perteneciente al intervalo abierto (a,b)

Clasificación de discontinuidades

Evitable

Caso A:

No existe f(a) pero existe limx->af(x).

 

limx->0-f(x) = limx->0+f(x) = 2 o sea limx->0f(x)=2

Podemos extender la definición de la función, asignándole en el punto a el valor del límite, con lo cual la función se torna continua. Por ello este tipo de discontinuidad se denomina evitable.

Caso B:

Existe f(a) y existe limx->af(x)=b pero b≠f(a).
(Existe f(a) pero es distinto al valor del límite).

 

No evitable

1ª especie:

limx->a-f(x) ≠ limx->a+f(x).
(Los límites laterales son distintos).

 

Nota: observar que debe existir f(a) y debe existir el limx->a f(x) y debe ser igual a f(a).

 

Operaciones con funciones continuas

Si f y g son funciones continuas en x=a, la suma, multiplicación y cociente de f y g (con g(a) ≠ 0) son funciones continuas en x=a.

H) f(x) es continua en x=a.
    g(x) es continua en x=a.
T) f(x) + g(x) es continua en x=a.

Demostración

Por definición de continuidad,

existe f(a) y existe limx->af(x) = f(a)
existe g(a) y existe limx->ag(x) = g(a)

=> por teo. límite de la suma de funciones, el límite de una suma de funciones es igual a la suma de los límites de cada función, si éstos son finitos.

limx->a f(x) + g(x) = f(a) + g(a)

=> por def. de continuidad f(x) + g(x) es continua en x=a.

Análogamente se prueba la continuidad del producto y el cociente.

 

Teorema

Continuidad de la función compuesta

H) f es continua en x=a.
    g es continua en x=f(a).
T) g o f es continua en x=a.

Demostración:

Queremos demostrar que limx->a g[f(x)]=g[f(a)], o sea, por definición de límite, queremos probar que, dado ε>0 existe δ>0 tal que para todo x perteneciente al E*a,δ g[f(x)] perteneciente al Eg[f(a)],ε.

Por hipótesis g es continua en f(a) => por def. de continuidad limx->f(a) g(x)=g[f(a)] => por def. de límite, dado ε>0 existe δ>0 tal que...

para todo x perteneciente al E*f(a),δ g(x) pertenece al Eg[f(a)],ε   (1)

Por hipótesis f es continua en a => por def. de continuidad limx->af(x) = f(a), es decir que (por def. de límite) si tomamos el número δ de (1), existe α>0 tal que...

para todo x perteneciente al E*a,α f(x) pertenece al Ef(a),δ   (2)

De (1) y (2) se deduce que:
Dado ε>0 existe α>0 / para todo x perteneciente al E*a,α g[f(x)] pertenece al Eg[f(a)],ε.

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Nery Casasola, Antonio Castillo, Jorge Martinez, Jorge Morales